Primzahlen
Primzahlen lassen sich lediglich durch eins und sich selbst teilen
Man bezeichnet natürlich Zahlen dann als Primzahl, wenn sie größer ist als eins und nicht als Produkt von zwei kleineren Zahlen geschrieben werden kann.
Eine natürlich Zahl wird dann als Primzahl bezeichnet, wenn sie größer als eins ist und nicht als Produkt von zwei kleineren Zahlen geschrieben werden kann. Die Zahl sieben ist zum Beispiel eine Primzahl, da es außer den Zahlen eins und sieben keine Teiler gibt. Die Zahl 12 gehört hingegen nicht zu den Primzahlen, da man sie zum Beispiel als zwei und sechs schreiben kann. Von nicht zu großen Zahlen kann man ihre Primzahleigenschaften leicht ermitteln. Sofern man sogar einen geeignet programmierten Computer zur Verfügung, kann man sich die Arbeit abnehmen und beispielsweise feststellen lassen, dass die Zahl 1236718507534581290478731 ebenfalls eine Primzahl ist. Die Primzahlen faszinieren Mathematiker seit mehr als 2000 Jahren, denn, obwohl viele sehr tief liegende Sachverhalte über sie bekannt sind, gibt es trotzdem noch zahlreiche offene Probleme.
Bei den Primzahlen handelt es sich um die Bausteine der Zahlen. Sie können multiplikativ nicht zerlegt werden und jede andere Zahl ist als Produkt von Primzahlen schreibbar, wie etwa 20 als 2 mal 2 mal 5 oder die Zahl 110, als 2 mal 5 mal 11. Bis auf die Reihenfolge ist diese Produktdarstellung sogar eindeutig. Als gewagte Analogie könnte man sogar sagen, wenn man die Zahlen 1,2,3,4… als so etwas wie die Moleküle der Zahlen betrachtet, entsprechen die Primzahlen den Atomen. Daraus folgt insbesondere, dass es für jede Zahl einen Teiler gibt, bei dem es sich um eine Primzahl handelt. Wenn man es länger ausprobiert, kann man zu der Vermutung gelangen, dass es beliebig viele Primzahlen gibt, denn man findet immer noch eine Größere. Das dies wirklich stimmt, wurde schon von Euklid im alten Griechenland bewiesen, der zu den bekanntesten Beweisen der gesamten Mathematik gehört, und auch nicht besonders schwierig ist.
Die Idee dieses Beweises besteht in der Angabe eines Verfahrens, das bei Eingabe von n Primzahlen mindestens n+1 Primzahlen prodiziert. Hierbei soll das n für irgendeine natürlich Zahl stehen. Ausführlich bedeutet das, dass dieses Verfahren aus zwei Primzahlen drei macht, aus drei Primzahlen vier, aus vier Primzahlen fünf, usw. Sofern es ein solches Verfahren gibt, kann die Anzahl der Primzahlen offensichtlich nicht begrenzt sein. Des Weiteren ist plausibel, dass es im Bereich der sehr großen Zahlen auch immer weniger Primzahlen gibt, da bei sehr großen Zahlen viel mehr Möglichkeiten bestehen, ein Teiler von der natürlichen Zahl zu sein. So gibt es mit Sicherheit protentual weniger Primzahlen zwischen eins und 1000 als zwischen eins und 100.